Résolution de l'équation ax+by=c où (a,b,c) est un triplet d'entiers et (x,y) le couple d'inconnues entières

Première étape :

on divise l'équation par le pgcd de (a,b,c)
Exemple : 4x+6y=8 devient 2x+3y=4

Deuxième étape :

si a et b ne sont pas premiers entre eux alors l'équation n'a pas de solution si a et b sont premiers entre eux on cherche une relation (de Bezout) du type ar+bs=1
Exemple : si a=33 et b=5 on écrit
33=5*6+3 d'où 3=33-5*6 (i)
5=3*1+2 d'où 2=5-3*1 (ii)
3=2*1+1 d'où 1=3-2 (iii)
(ii) et (iii) donnent 1=3*2-5 (iv)
(i) et (iv) donnent 1=33*2-5*13
c'est-à-dire (r,s)=(2,-13)

Troisième étape :

une solution particulière est (x,y)=(cr,cs)

Quatrième étape :

la famille des solutions est donnée par Xp=x-bp et Yn=y+ap où (x,y) est une solution particulière et p un entier relatif

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Dernière mise à jour le 25 avril 1998.